Vor zehn Tagen stellten wir in unserem Quiz ein einfaches Spiel vor, ein Münzwurf-Spiel für zwei Spieler. Wir wollten von unseren Leser wissen, ob dieses Spiel fair ist, oder nicht. Hier nun lösen wir das Quiz auf.
Zunächst noch einmal die Quizfrage:
Das Spiel
Maria bietet ihrer Freundin Vanessa folgendes Spiel an: Die beiden werfen so lange eine Münze bis erstmals entweder die Sequenz Kopf-Zahl oder Zahl-Zahl fällt. Kopf-Zahl bedeutet einen Punkt für Maria, Zahl-Zahl einen für Vanessa. Danach geht das Spiel von vorne los. Um nicht ewig zu spielen, wird das Spiel nach insgesamt zehn Münzwürfen abgebrochen. Sieger ist, wer die meisten Punkte hat.
Ein Beispiel: Die Münzen fallen in der Reihenfolge „Zahl, Kopf, Kopf, Kopf, Kopf, Zahl, Zahl, Zahl, Zahl, Kopf“:
| # | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| Münze | Zahl | Kopf | Kopf | Kopf | Kopf | Zahl | Zahl | Zahl | Zahl | Kopf | Punkte |
| Maria | Kopf | Zahl | 1 | ||||||||
| Vanessa | Zahl | Zahl | 1 |
Erst bei den Würfen fünf und sechs fällt erstmals eine Sequenz, die Punkte bringt, nämlich einen für Maria (Kopf, Zahl). In den direkt anschließenden Würfen sieben und acht (Zahl, Zahl) gibt es einen Punkt für Vanessa. Alle anderen Würfe bringen keine Punkte.
- Beim zweifachen Münzwurf sind die Folgen „Kopf, Zahl“ und „Zahl, Zahl“ gleich wahrscheinlich (je 25 Prozent) – handelt es sich deswegen hier um ein faires Spiel?
- Und wenn nicht, wie groß ist der Vorteil, den Vanessa oder Maria hat?
Auflösung
Dieses Spiel ist ein höchst unfaires. Maria (also die Folge Kopf, Zahl) gewinnt mehr als siebenmal so häufig wie Vanessa (also die Folge Zahl, Zahl).
Warum hat Maria hier einen so krassen Vorteil?
Schauen wir uns dafür einfach einmal eine verkürzte Variante dieses Spiels an, nämlich ein Spiel, das auf drei Münzwürfe beschränkt ist, aber ansonsten nach den gleichen Regeln funktioniert.
Für drei Münzwürfe gibt es genau acht mögliche Sequenzen, wie sich Kopf und Zahl verteilen können. Diese sind alle gleich wahrscheinlich. Wir haben die Sequenzen hier tabellarisch aufgelistet und markiert, welcher Spieler bei der jeweiligen Sequenz gewinnt:
| Sequenz # | Wurf 1 | Wurf 2 | Wurf 3 | Sieger |
| 1 | K | K | K | Unentschieden |
| 2 | Z | K | K | Unentschieden |
| 3 | K | Z | K | Maria |
| 4 | Z | Z | K | Vanessa |
| 5 | K | K | Z | Maria |
| 6 | Z | K | Z | Maria |
| 7 | K | Z | Z | Maria |
| 8 | Z | Z | Z | Vanessa |
In diesem vereinfachten Spiel gewinnt Maria bei vier der acht Sequenzen, Vanessa nur bei zweien, wobei zwei Sequenzen unentschieden ausgehen.
In den Sequenzen kommen die Folgen „Kopf, Zahl“ und „Zahl, Zahl“ zwar gleich häufig – nämlich viermal – vor, aber die Folge „Zahl, Zahl“ wird zweimal geblockt: in Sequenz #7 durch einen Punkt Marias in den Würfen eins und zwei und in Sequenz #8 durch einen Punkt Vanessas in den Würfen eins und zwei.
Erhöht man die Zahl der Würfe von drei auf zehn wird das Verhältnis noch wesentlich deutlicher. Bei zehn Würfen sind 1024 gleich wahrscheinliche Sequenzen möglich. 762 davon gewinnt Maria und nur 104 gehen an Vanessa.
Damit liegt die Wahrscheinlichkeit, dass Vanessa gewinnt bei 104 / 1024 oder rund 10,16 Prozent, was die richtige Antwort auf Frage zwei ist.
Auflösung Gewinnspiel
Gleich drei Teilnehmer haben bei Schätzfrage zwei das exakte Ergebnis gewusst. Nicht schlecht! Das Los hat Ogerle als Sieger bestimmt. Herzlichen Glückwunsch, das Geld ist via PayPal unterwegs.
Das Münzwurf-Spiel im größeren Rahmen
Die Anregung zu diesem Quiz entstammte einem Video des YouTube-Channels » Numberphile, wo dieses Problem vor kurzem detailliert besprochen wurde:
Dieser Artikel erschien auf PokerOlymp am 10.07.2016.
